Elementos de Euclides y la geometría platónica

A pesar de la inmensa y abrumadora cantidad de libros y artículos (incluyendo los que se encuentran en la red) a los que en la actualidad tiene acceso cualquier persona en el mundo, solo un pequeñísimo porcentaje de ellos han logrado marcar la historia del pensamiento y, con ella, la historia de la humanidad. La mayoría de las obras que se encuentran en bibliotecas y en sitios web carecen en absoluto de trascendencia o importancia para cualquier área del saber. Así, en este mar de información en que se encuentra el hombre actual, nunca está de más leer y analizar aquellas obras que nunca perderán su vigencia por el hecho de haberse constituido en paradigmas de belleza, sencillez y genialidad. Entre estas obras se encuentra Elementos, del geómetra griego Euclides. Precisamente por la sencillez y belleza de su proceder geométrico inmortalizado en su obra, hacer un resumen o un recuento de ella sería extenso y vano; sin embargo, una posible manera de formarse una idea de este tratado de geometría es haciendo una exposición de la mayoría de las definiciones del libro I, sus postulados y sus nociones comunes o axiomas. Pero una mera exposición de estos ítems resultaría insuficiente, pues no retrataría la polémica en torno a ellos. Un personaje que criticó el método de los geómetras fue Platón (quien vivió unos cien años antes de Euclides). Así, puede resultar interesante analizar las definiciones, postulados y axiomas de Elementos a la luz de una breve crítica que hace Platón a la geometría en el libro VI de República.

Comencemos exponiendo algunos de las definiciones del libro I de Elementos. En ellas Euclides pretende simplemente evidenciar el significado de los términos más importantes en las demostraciones de los teoremas. Puede parecer una instancia prescindible por su obviedad, pues ¿quién objetaría una demostración por el hecho de que el autor no haya definido lo que entiende por figura? Parecería que la mayoría de ellas no requiere mayor explicación, ya que son conceptos que están, aparentemente, muy claros para todos. Veamos. Punto es lo que no tiene partes (Definición 1); línea es longitud sin anchura (D.2); los extremos de la línea son puntos (D.3) (Elementos, en Campos 2006: 503). Hasta aquí, las definiciones parecen muy simples, un lector desprevenido o sin formación filosófica o matemática las calificaría de obviedades. Pero en realidad hubo discusiones largas y complejas en torno definiciones como las de línea, o punto. Las paradojas de Zenón mostraron que estos conceptos podían resultar muy problemáticos, pues si se pensaba en una línea como una sucesión de puntos, la suma de elementos sin magnitud no podía dar como resultado magnitud alguna, lo cual dejaba perplejos a muchos pensadores de la época. Paradojas como la de la tortuga o la flecha pusieron a pensar a muchos matemáticos y filósofos en este tipo de definiciones. Pero sigamos, pues no todas las definiciones son igualmente “sencillas”. Línea recta es una línea que yace por igual sobre los puntos de la misma (D.4); ángulo plano es la inclinación recíproca de dos líneas coplanares que se cortan y no están sobre la misma línea recta (D. 8); cuando una línea recta trazada sobre otra línea recta hace ángulos adyacentes iguales entre sí, cada uno de los ángulos iguales es recto; y la línea recta trazada sobre la otra se llama perpendicular a aquella sobre la cual está trazada (D10) (Elementos, en Campos 2006: 503). De la misma manera, partiendo de la definición de ángulo recto, se definen los ángulos agudos y obtusos, siendo los primeros menores a aquél y los segundos, mayores. Hay en total 23 definiciones, en este texto no se mencionarán todas por razones ya dadas. Sin embargo, posiblemente sea útil exponer algunas más para evidenciar algún punto.

Queda claro que en este tratado de geometría se dan por presupuestas cosas como las líneas, los puntos, y otras entidades geométricas como los planos. Puede ser oportuno introducir aquí la crítica platónica mencionada. Pero antes, una brevísima contextualización. Están discutiendo Sócrates y Glaucón acerca de algunas artes, sus grados de cognoscibilidad y el modo en que debe el hombre aproximarse a este conocimiento. Pues de las cosas que se pueden conocer, unas son visibles y otras son inteligibles. Platón divide ambos grupos en dos sub-grupos. De entre las visibles unas son “imágenes”, algo así como reflejos en el agua o sombras de objetos visibles, y otras son cosas que se ven directamente, como animales y personas que nos rodean. De igual manera, en el primer grupo (ontológicamente inferior) de las cosas inteligibles “el alma, sirviéndose de las cosas antes imitadas como si fueran imágenes, se ve forzada a indagar a partir de supuestos, marchando no hasta un principio sino hacia una conclusión” (Rep 510b). Y, en el nivel superior de este grupo se procede avanzando “hasta un principio no supuesto y sin recurrir a imágenes –a diferencia del otro caso-, efectuando el camino con Ideas mismas y por medio de Ideas” (Rep. 510b). Habiendo expuesto esta categorización, parece claro hacia dónde está encaminada esta crítica platónica a la geometría. ¿En cuál de los grupos mencionados se encontraría la geometría?, parece claro que la geometría se vale de figuras visibles, parte de supuestos y no se dirige a un principio sino a una conclusión. Pero habrá que aclarar un poco más la crítica, ¿a qué se refiere Platón por supuestos? Podría pensarse que se refiere a las nociones comunes o axiomas (aun no tratados en este escrito), pues, por definición, un axioma se da por supuesto sin necesidad de prueba alguna, ya que sobre él se pretende construir una teoría. Pero parece que el problema que señala Platón estaría a un nivel aun más inferior que los axiomas: las definiciones. “Creo que sabes que los que se ocupan de geometría y de cálculo suponen lo impar y lo par, las figuras y tres clases de ángulos y cosas afines, según lo que investigan en cada caso. Como si las conocieran, las adoptan como supuestos, y de ahí en adelante no estiman que deban dar cuenta de ellas ni a sí mismos ni a otros, como si fueran evidentes a cualquiera; antes bien, partiendo de ellas atraviesan el resto de modo consecuente, para concluir en aquello que proponían al examen” (Rep 510c). Veamos en qué medida Elementos de Euclides estaría cayendo en la denuncia de Platón, y qué podría hacerse para hacer de la geometría un arte del nivel superior planteado por Platón. Para ello se recurrirá a la demostración del teorema 3. a partir de allí se pretende exponer las características generales de una demostración.

El teorema 3 del libro I de Elementos es uno de los más sencillos y cortos. En él Euclides muestra la posibilidad de restar a una recta la magnitud de otra recta menor. Es, como se ve, un teorema de construcción (también los hay de demostración). El enunciado es así: “Dadas dos rectas desiguales, restar de la mayor una recta igual a la menor” (Elementos, en Campos 2006: 521). Como hipótesis, se tiene que AB y C son las dos líneas rectas desiguales dadas, siendo AB la mayor de ellas. Hay que, entonces, restar de la mayor AB, una recta igual a la menor C. Los pasos son: 1-por el teorema 2 (que demuestra la posibilidad de, desde un punto dado, construir una línea recta igual a una línea recta dada), en el punto A, construir AD igual a la recta C. 2- Por el tercer postulado (“trazar un círculo con centro y distancia cualesquiera”) con centro en A y radio AD, describir el círculo DEF. Entonces AE será igual a C. Y, por la definición 15 (“círculo es una figura plana limitada por una línea tal que todas las líneas rectas incidentes sobre ella desde un punto de los que están situados dentro de la figura son iguales entre sí”), puesto que el punto A es el centro del círculo DEF, es AE igual a AD. Pero C es igual a AD. Por lo tanto, cada una de las líneas rectas AE, C es igual a AD, de manera que AE es también igual a C, por la noción común 1, que dice que cosas iguales a una misma cosa son iguales entre sí. Por lo tanto, dadas las líneas rectas AB y C, de la mayor AB se ha restado AE igual a C, la menor. Como había que hacer. (Demostración tomada de Elementos, en Campos 2006: 521-522).

Resulta entonces evidente la relación entre el modo de proceder de Euclides en esta demostración y la descripción que de la geometría hace Platón. Profundicemos un poco en su postura. En el libro VI de República, Platón señala que las figuras con las que trabajan los geómetras son visibles, pero éstos piensan no en ellas (como visibles) sino como las figuras en sí, por ejemplo, el Cuadrado en sí, y no el que dibujan, pues el primero sería perfecto y el segundo no. Pero, de estas cosas que dibujan “se sirven como imágenes, buscando divisar aquellas cosas en sí que no podrían divisar de otro modo que con el pensamiento” (Rep 510d-511a), y así “el alma se ve forzada a servirse de supuestos en su búsqueda, sin avanzar hacia un principio, por no poder remontarse más allá de los supuestos” (Rep 511a). Una posible (aunque dudosa) interpretación de la crítica de Platón sería como sigue. Al verse el geómetra en la necesidad de resolver un problema que involucra magnitudes, ángulos, líneas, puntos, etcétera, debe recurrir a figuras; aunque estas figuras son sólo una representación imperfecta de la figura ideal. Pero, como en todo caso estas figuras son copias de imágenes, cualquier información que de ellas se extraiga estará limitada por las limitaciones inherentes a las cosas del mundo del devenir. Así, mientras el geómetra trabaje con figuras que sean imitaciones de imágenes, su disciplina nunca podrá llegar a principios. Esto se debe a que en los procedimientos geométricos, los supuestos son tomados como principios, y por lo tanto, no puede llegar a principios sino a conclusiones, tal y como parece suceder en los teoremas expuestos por Euclides en Elementos.

Para hacer, entonces, de la geometría una ciencia que parta de supuestos (y no de principios) y se dirija a principios y no a conclusiones, habría que aprehender las figuras exclusivamente con el pensamiento, y nunca acudiendo a imágenes o figuras de imágenes. Pero esto podría resultar problemático, pues sería necesario que todas las figuras geométricas y otros conceptos como punto, ángulo, y otros, estuviesen inscritos en la mente del hombre desde antes de su nacimiento. Probablemente este problema quedaría solucionado con la teoría de la reminiscencia de Platón. Así, si el geómetra logra trabajar con conceptos cuyo origen nunca se encuentre en la experiencia, entonces podría decirse que en realidad sí conoce términos como el punto, la línea o el ángulo. Y desde allí podría comenzar a construir su teoría, ya que los axiomas (a pesar de no necesitar demostración) sí requieren, como se vio, que sus términos estén claramente definidos. Así, ya la geometría no estaría ubicada entre la mera opinión y la inteligencia, bajo el apelativo de “pensamiento discursivo”, sino que se podría decir de él, en palabra de Platón, que “hace de los supuestos no principios sino realmente supuestos, que son como peldaños y trampolines hasta el principio del todo, que es no supuesto, y, tras aferrarse a él , ateniéndose a las cosas que de él dependen, desciende hasta una conclusión, sin servirse para nada de lo sensible, sino de Ideas, a través de Ideas y en dirección a Ideas, hasta concluir en Ideas” (Rep 511b-c).

Parece quedar clara la diferencia de concepciones que de la geometría tenían Platón y Euclides. Sin embargo todavía quedan muchos puntos sin aclarar al respecto. ¿qué entiende Platón por principio? ¿qué entiende Platón por conclusión ¿es posible en la realidad concebir una geometría que no dependa en ningún modo de la experiencia? ¿son válidas desde el punto de vista platónico las conclusiones a las que llega la geometría? ¿Cómo puede el hombre separarse totalmente de la experiencia en el momento de aprehender conceptos geométricos que se le presentan a los sentidos todo el tiempo? Estas y muchas otras, serían preguntas que podrían enriquecer la discusión.

BIBLIOGRAFÍA

PLATÓN
[Rep] (1992). República. Trad. Conrado Eggers Lan. Madrid. Gredos.

CAMPOS, Alberto.
(2006). Introducción a la historia y a la filosofía de la matemática. Vol 1. Bogotá. Universidad Nacional de Colombia.