Elementos de Euclides y la geometría platónica

A pesar de la inmensa y abrumadora cantidad de libros y artículos (incluyendo los que se encuentran en la red) a los que en la actualidad tiene acceso cualquier persona en el mundo, solo un pequeñísimo porcentaje de ellos han logrado marcar la historia del pensamiento y, con ella, la historia de la humanidad. La mayoría de las obras que se encuentran en bibliotecas y en sitios web carecen en absoluto de trascendencia o importancia para cualquier área del saber. Así, en este mar de información en que se encuentra el hombre actual, nunca está de más leer y analizar aquellas obras que nunca perderán su vigencia por el hecho de haberse constituido en paradigmas de belleza, sencillez y genialidad. Entre estas obras se encuentra Elementos, del geómetra griego Euclides. Precisamente por la sencillez y belleza de su proceder geométrico inmortalizado en su obra, hacer un resumen o un recuento de ella sería extenso y vano; sin embargo, una posible manera de formarse una idea de este tratado de geometría es haciendo una exposición de la mayoría de las definiciones del libro I, sus postulados y sus nociones comunes o axiomas. Pero una mera exposición de estos ítems resultaría insuficiente, pues no retrataría la polémica en torno a ellos. Un personaje que criticó el método de los geómetras fue Platón (quien vivió unos cien años antes de Euclides). Así, puede resultar interesante analizar las definiciones, postulados y axiomas de Elementos a la luz de una breve crítica que hace Platón a la geometría en el libro VI de República.

Comencemos exponiendo algunos de las definiciones del libro I de Elementos. En ellas Euclides pretende simplemente evidenciar el significado de los términos más importantes en las demostraciones de los teoremas. Puede parecer una instancia prescindible por su obviedad, pues ¿quién objetaría una demostración por el hecho de que el autor no haya definido lo que entiende por figura? Parecería que la mayoría de ellas no requiere mayor explicación, ya que son conceptos que están, aparentemente, muy claros para todos. Veamos. Punto es lo que no tiene partes (Definición 1); línea es longitud sin anchura (D.2); los extremos de la línea son puntos (D.3) (Elementos, en Campos 2006: 503). Hasta aquí, las definiciones parecen muy simples, un lector desprevenido o sin formación filosófica o matemática las calificaría de obviedades. Pero en realidad hubo discusiones largas y complejas en torno definiciones como las de línea, o punto. Las paradojas de Zenón mostraron que estos conceptos podían resultar muy problemáticos, pues si se pensaba en una línea como una sucesión de puntos, la suma de elementos sin magnitud no podía dar como resultado magnitud alguna, lo cual dejaba perplejos a muchos pensadores de la época. Paradojas como la de la tortuga o la flecha pusieron a pensar a muchos matemáticos y filósofos en este tipo de definiciones. Pero sigamos, pues no todas las definiciones son igualmente “sencillas”. Línea recta es una línea que yace por igual sobre los puntos de la misma (D.4); ángulo plano es la inclinación recíproca de dos líneas coplanares que se cortan y no están sobre la misma línea recta (D. 8); cuando una línea recta trazada sobre otra línea recta hace ángulos adyacentes iguales entre sí, cada uno de los ángulos iguales es recto; y la línea recta trazada sobre la otra se llama perpendicular a aquella sobre la cual está trazada (D10) (Elementos, en Campos 2006: 503). De la misma manera, partiendo de la definición de ángulo recto, se definen los ángulos agudos y obtusos, siendo los primeros menores a aquél y los segundos, mayores. Hay en total 23 definiciones, en este texto no se mencionarán todas por razones ya dadas. Sin embargo, posiblemente sea útil exponer algunas más para evidenciar algún punto.

Queda claro que en este tratado de geometría se dan por presupuestas cosas como las líneas, los puntos, y otras entidades geométricas como los planos. Puede ser oportuno introducir aquí la crítica platónica mencionada. Pero antes, una brevísima contextualización. Están discutiendo Sócrates y Glaucón acerca de algunas artes, sus grados de cognoscibilidad y el modo en que debe el hombre aproximarse a este conocimiento. Pues de las cosas que se pueden conocer, unas son visibles y otras son inteligibles. Platón divide ambos grupos en dos sub-grupos. De entre las visibles unas son “imágenes”, algo así como reflejos en el agua o sombras de objetos visibles, y otras son cosas que se ven directamente, como animales y personas que nos rodean. De igual manera, en el primer grupo (ontológicamente inferior) de las cosas inteligibles “el alma, sirviéndose de las cosas antes imitadas como si fueran imágenes, se ve forzada a indagar a partir de supuestos, marchando no hasta un principio sino hacia una conclusión” (Rep 510b). Y, en el nivel superior de este grupo se procede avanzando “hasta un principio no supuesto y sin recurrir a imágenes –a diferencia del otro caso-, efectuando el camino con Ideas mismas y por medio de Ideas” (Rep. 510b). Habiendo expuesto esta categorización, parece claro hacia dónde está encaminada esta crítica platónica a la geometría. ¿En cuál de los grupos mencionados se encontraría la geometría?, parece claro que la geometría se vale de figuras visibles, parte de supuestos y no se dirige a un principio sino a una conclusión. Pero habrá que aclarar un poco más la crítica, ¿a qué se refiere Platón por supuestos? Podría pensarse que se refiere a las nociones comunes o axiomas (aun no tratados en este escrito), pues, por definición, un axioma se da por supuesto sin necesidad de prueba alguna, ya que sobre él se pretende construir una teoría. Pero parece que el problema que señala Platón estaría a un nivel aun más inferior que los axiomas: las definiciones. “Creo que sabes que los que se ocupan de geometría y de cálculo suponen lo impar y lo par, las figuras y tres clases de ángulos y cosas afines, según lo que investigan en cada caso. Como si las conocieran, las adoptan como supuestos, y de ahí en adelante no estiman que deban dar cuenta de ellas ni a sí mismos ni a otros, como si fueran evidentes a cualquiera; antes bien, partiendo de ellas atraviesan el resto de modo consecuente, para concluir en aquello que proponían al examen” (Rep 510c). Veamos en qué medida Elementos de Euclides estaría cayendo en la denuncia de Platón, y qué podría hacerse para hacer de la geometría un arte del nivel superior planteado por Platón. Para ello se recurrirá a la demostración del teorema 3. a partir de allí se pretende exponer las características generales de una demostración.

El teorema 3 del libro I de Elementos es uno de los más sencillos y cortos. En él Euclides muestra la posibilidad de restar a una recta la magnitud de otra recta menor. Es, como se ve, un teorema de construcción (también los hay de demostración). El enunciado es así: “Dadas dos rectas desiguales, restar de la mayor una recta igual a la menor” (Elementos, en Campos 2006: 521). Como hipótesis, se tiene que AB y C son las dos líneas rectas desiguales dadas, siendo AB la mayor de ellas. Hay que, entonces, restar de la mayor AB, una recta igual a la menor C. Los pasos son: 1-por el teorema 2 (que demuestra la posibilidad de, desde un punto dado, construir una línea recta igual a una línea recta dada), en el punto A, construir AD igual a la recta C. 2- Por el tercer postulado (“trazar un círculo con centro y distancia cualesquiera”) con centro en A y radio AD, describir el círculo DEF. Entonces AE será igual a C. Y, por la definición 15 (“círculo es una figura plana limitada por una línea tal que todas las líneas rectas incidentes sobre ella desde un punto de los que están situados dentro de la figura son iguales entre sí”), puesto que el punto A es el centro del círculo DEF, es AE igual a AD. Pero C es igual a AD. Por lo tanto, cada una de las líneas rectas AE, C es igual a AD, de manera que AE es también igual a C, por la noción común 1, que dice que cosas iguales a una misma cosa son iguales entre sí. Por lo tanto, dadas las líneas rectas AB y C, de la mayor AB se ha restado AE igual a C, la menor. Como había que hacer. (Demostración tomada de Elementos, en Campos 2006: 521-522).

Resulta entonces evidente la relación entre el modo de proceder de Euclides en esta demostración y la descripción que de la geometría hace Platón. Profundicemos un poco en su postura. En el libro VI de República, Platón señala que las figuras con las que trabajan los geómetras son visibles, pero éstos piensan no en ellas (como visibles) sino como las figuras en sí, por ejemplo, el Cuadrado en sí, y no el que dibujan, pues el primero sería perfecto y el segundo no. Pero, de estas cosas que dibujan “se sirven como imágenes, buscando divisar aquellas cosas en sí que no podrían divisar de otro modo que con el pensamiento” (Rep 510d-511a), y así “el alma se ve forzada a servirse de supuestos en su búsqueda, sin avanzar hacia un principio, por no poder remontarse más allá de los supuestos” (Rep 511a). Una posible (aunque dudosa) interpretación de la crítica de Platón sería como sigue. Al verse el geómetra en la necesidad de resolver un problema que involucra magnitudes, ángulos, líneas, puntos, etcétera, debe recurrir a figuras; aunque estas figuras son sólo una representación imperfecta de la figura ideal. Pero, como en todo caso estas figuras son copias de imágenes, cualquier información que de ellas se extraiga estará limitada por las limitaciones inherentes a las cosas del mundo del devenir. Así, mientras el geómetra trabaje con figuras que sean imitaciones de imágenes, su disciplina nunca podrá llegar a principios. Esto se debe a que en los procedimientos geométricos, los supuestos son tomados como principios, y por lo tanto, no puede llegar a principios sino a conclusiones, tal y como parece suceder en los teoremas expuestos por Euclides en Elementos.

Para hacer, entonces, de la geometría una ciencia que parta de supuestos (y no de principios) y se dirija a principios y no a conclusiones, habría que aprehender las figuras exclusivamente con el pensamiento, y nunca acudiendo a imágenes o figuras de imágenes. Pero esto podría resultar problemático, pues sería necesario que todas las figuras geométricas y otros conceptos como punto, ángulo, y otros, estuviesen inscritos en la mente del hombre desde antes de su nacimiento. Probablemente este problema quedaría solucionado con la teoría de la reminiscencia de Platón. Así, si el geómetra logra trabajar con conceptos cuyo origen nunca se encuentre en la experiencia, entonces podría decirse que en realidad sí conoce términos como el punto, la línea o el ángulo. Y desde allí podría comenzar a construir su teoría, ya que los axiomas (a pesar de no necesitar demostración) sí requieren, como se vio, que sus términos estén claramente definidos. Así, ya la geometría no estaría ubicada entre la mera opinión y la inteligencia, bajo el apelativo de “pensamiento discursivo”, sino que se podría decir de él, en palabra de Platón, que “hace de los supuestos no principios sino realmente supuestos, que son como peldaños y trampolines hasta el principio del todo, que es no supuesto, y, tras aferrarse a él , ateniéndose a las cosas que de él dependen, desciende hasta una conclusión, sin servirse para nada de lo sensible, sino de Ideas, a través de Ideas y en dirección a Ideas, hasta concluir en Ideas” (Rep 511b-c).

Parece quedar clara la diferencia de concepciones que de la geometría tenían Platón y Euclides. Sin embargo todavía quedan muchos puntos sin aclarar al respecto. ¿qué entiende Platón por principio? ¿qué entiende Platón por conclusión ¿es posible en la realidad concebir una geometría que no dependa en ningún modo de la experiencia? ¿son válidas desde el punto de vista platónico las conclusiones a las que llega la geometría? ¿Cómo puede el hombre separarse totalmente de la experiencia en el momento de aprehender conceptos geométricos que se le presentan a los sentidos todo el tiempo? Estas y muchas otras, serían preguntas que podrían enriquecer la discusión.

BIBLIOGRAFÍA

PLATÓN
[Rep] (1992). República. Trad. Conrado Eggers Lan. Madrid. Gredos.

CAMPOS, Alberto.
(2006). Introducción a la historia y a la filosofía de la matemática. Vol 1. Bogotá. Universidad Nacional de Colombia.

Sobre la imagen de Arquímedes

UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA
Platón – Aristóteles. Ciencia griega antigua
Septiembre 14 de 2007
Juan Camilo Toro Duque

Sobre Arquímedes se han escrito ríos enteros de tinta. Se le ha mirado y estudiado desde diferentes perspectivas; lo han estudiado los matemáticos, los ingenieros, los físicos, los filósofos, y, como era de esperarse, los sociólogos. Alrededor de su figura se ha especulado mucho; hay cientos de anécdotas (falsas unas, probables otras) que nos retratan a un personaje excepcional en varios aspectos. En todo caso es indudable la importancia que sus trabajos en matemática, física e ingeniería han tenido. Su mente ha sido calificada como una de las más brillantes de la historia, independientemente de su vida personal o del contexto histórico en que tales avances tuvieron lugar. Por otro lado, es importante recordar que de Arquímedes, como de la mayoría de pensadores de la antigüedad, se han perdido textos importantes, tanto de entre los que fueron de su autoría, como de aquellos que fueron biografías acerca de él.

Es por todos aceptado que la figura de Arquímedes se ha convertido en la figura del hombre sabio a la que muchos aspiran. Pero está claro que esta figura del sabio ha llegado hasta nuestros tiempos gracias a biógrafos que se ocuparon de plasmar para la posteridad la imagen que ellos creían más acertada o pertinente (no siempre la más fiel) del hombre a quien retrataban. Por esta razón es posible pensar que la imagen de los grandes genios de la antigüedad difiere en alguna medida de la realidad. Precisamente de esto se ocupa el texto en torno al cual se desarrollará este escrito: Arquímedes: El canon del sabio, escrito por Michel Authier. En él el autor pretende mostrar cómo Plutarco, biógrafo de Arquímedes, logra esbozar una figura del genio acorde con las creencias e intereses del propio Plutarco; y posteriormente expone algunas consecuencias que, a juicio de Authier, esa figura del sabio ha traído consigo en la actualidad. El objetivo de este escrito es, pues, analizar los argumentos que llevan a Michel Authier a enunciar su tesis. Para ello se recurrirá a textos alternos de T. L Heath y Luis Vega, pero sólo en pocas ocasiones, pues el mismo texto nos da herramientas para evaluarlo. Se pretende concluir con una visión crítica acerca del tema tratado por Authier, que es, a grandes rasgos, acerca de la fidelidad de la idea que se tiene actualmente de Arquímedes, y de su impacto en la historia y la actualidad.

Comienza entonces el autor del escrito citado haciendo un breve esbozo de la vida de Plutarco. El biógrafo, nos cuenta, tenía conocimientos históricos, filosóficos y científicos. Era platónico, y como tal, aseguraba la existencia del mundo de las ideas, y su primacía sobre el mundo de las cosas. De esta manera Authier irá conduciendo al lector hacia una visión según la cual el platonismo y moralismo de Plutarco desembocaron en una imagen tergiversada del genio, de la cual deliberadamente se omiten eventos históricos para acercar lo más posible la imagen de Arquímedes hacia el platonismo. Todo el relato de Plutarco está enmarcado en los conflictos bélicos en que se vio involucrada Siracusa, ciudad natal de Arquímedes. Authier se centra en el problema que debió afrontar Plutarco cuando intentaba ubicar la ciencia de Arquímedes en el platonismo, pues, como se sabe, el siracusano participó activamente en las guerras a las que se vio enfrentada Siracusa; y era precisamente él el llamado a salvar la isla mediante la aplicación de la geometría a las artes militares. La manera de defender la tesis de Plutarco según la cual Arquímedes era platónico, fue describir a un Arquímedes absorto en cuestiones abstractas, pero desviado, por cortesía con el monarca, hacia empresas mundanas como la fabricación de armas. Sin embargo se comienza a entrever que Authier no es del todo imparcial con el uso de los términos y los argumentos. Es claro que Authier está en contra de la concepción platónica del Arquímedes de Plutarco. Acerca de la participación de Arquímedes en la construcción de máquinas de guerra, nos dice: “¿Precisó Arquímedes de sus conocimientos [matemáticos] para las máquinas de guerra? Plutarco no da ninguna respuesta, pues para él el sabio de Siracusa debía estar en el lado bueno de la separación impuesta por Platón. Mientras tanto, allí está Arquímedes, disculpado y venerable, su ciencia no deriva del armamento sino que, por la voluntad del príncipe, el armamento deriva del poder” (Authier: 126). Parece claro el tono en que está escrito el texto: es un tono sutilmente sarcástico. Las afirmaciones del escrito no son, en su mayoría, claras y refutables, sino implícitas. Como cuando está hablando sobre la relación de Arquímedes con el rey, inicia el párrafo diciendo “Ahora bien, un día Einstein escribió al presidente Roosevelt…” (Authier:128) para después sí hacer la misma cita pero en lugar de Einstein y Roosevelt con Arquímedes y el rey. Esta afirmación, por sí misma, no nos diría mucho, pero hay que tener en cuenta que Authier inició su escrito citando casos en los que científicos como Oppenheimer, Sajarov y Fréderic Joliot-Curie tomaron parte en la construcción de armas atómicas. Por esta razón el escrito, que parecería exclusivamente expositivo, se torna enjuiciador, y por el estilo descrito, difícilmente refutable.

Sin embargo tiene muchos puntos débiles. Authier continúa entonces su crítica de Plutarco “sociólogo”, como lo llama peyorativamente, ahora con respecto a la afirmación de Arquímedes en la que prometía mover la Tierra si le fuese dado un punto fijo. Esta afirmación está relacionada con la anécdota según la cual Arquímedes fue capaz de mover un barco encallado en la arena lleno de mercancías y de gente, solo con la fuerza de su brazo, mediante un sistema de poleas compuesto. Desde ese momento, según Proclo, todos creían en lo que decía Arquímedes. Pero Authier ve en esta afirmación un sesgo platónico por parte de Plutarco, ya que parecería que estas proezas solo fueran realizables en la teoría y nunca en la práctica; por esto plantea una pregunta que parecería encaminada a sembrar una sospecha acerca de si la fama de Arquímedes como ingeniero está realmente justificada, pues parece que, en palabras de Authier, hay un velo que oculta los fundamentos del poder de Arquímedes (Authier: 129) : “¿Qué dimensión de lo real hay que ocultar para que todas estas posibilidades teóricas se vuelvan creíbles?” (Authier: 130). Para mostrar, entonces, lo absurdo de la afirmación de Arquímedes, el autor cita los cálculos realizados por Adam Ferguson, filósofo escocés del siglo XVIII. Según él, un hombre que se hallara en el extremo opuesto de la palanca con la que pretendería mover la Tierra, se demoraría 44 963 540 000 000 años para moverla una pulgada si el hombre se moviera a la velocidad de una bala de cañón. La cifra resulta ser un recurso retórico muy eficiente, pues sin duda es escandalosa, pero es un argumento poco honesto, pues, como todos saben , la velocidad a la que el hombre del ejemplo movería la Tierra depende directamente de la longitud de la palanca que use, según la fórmula vel lineal=vel angular * R. Sin embargo, en el ejemplo parece que deliberadamente han omitido la distancia R entre el punto fijo y la Tierra; sin ella, es posible dar cualquier cifra, ya que el resultado es incontrastable. Por otro lado, el autor (siempre defensor del contexto) desconoce el marco en que la frase fue dicha por Arquímedes. Heath nos cuenta que, según Pappus, la frase acerca de la posibilidad de mover la Tierra está relacionada con el descubrimiento de Arquímedes al problema de mover un cuerpo dado con una fuerza dada (Heath 1912: xix).

Así, las guerras en las que se vio involucrada Siracusa sirvieron a Plutarco, según el texto estudiado, para reforzar la imagen de Sabio de Arquímedes, ya que el biógrafo atribuía las victorias de Siracusa al conocimiento, por parte de Arquímedes, del mundo de las ideas, que gobernaba el mundo físico. Su inteligencia era sobrehumana y casi divina. Es así como Plutarco logró esbozar la figura canónica del sabio, basado, según el autor, en prejuicios morales y desvirtuando y tergiversando eventos y obras.

Pero la disputa acerca de si Arquímedes en realidad era platónico o aristotélico, o ninguno de los dos, parece ser estéril, ya que, al fin y al cabo la belleza y utilidad de sus avances científicos no dependen de ninguna manera en su filiación filosófica. Parecería además que el mismo Arquímedes tampoco le prestaba mucha atención a esta disputa, pues en todo caso él incursionó en muchas áreas del conocimiento, y una mente de su altura probablemente no habría restringido sus intereses por doctrinas ajenas. Incluso resulta débil la tesis según la cual Arquímedes tendría una concepción platónica de ciencia, pues fue él mismo quien fundó el estudio de la hidrostática y la estática, y no lo habría podido hacer si no hubiese recurrido a la experimentación. Para una exposición más clara de este punto, es conveniente citar a Vega: “…Plutarco platoniza a un Arquímedes que nunca parece haber sentido escrúpulos platónicos. En realidad, Arquímedes se muestra libre de dogmas filosóficos o metodológicos; su concepción métrica de la naturaleza no es platónica ni aristotélica, ni favorece el ensimismamiento de las ciencias exactas; a lo sumo, se aviene al protocolo de la demostración geométrica practicada en el medio. Más aún, recomienda el uso de nociones mecánicas en la investigación geométrica” (Vega 1986: 18).

Sin embargo Authier parece haber visto más de lo que ven los demás en la figura de Arquímedes. Ya nos ha expuesto sus razones para creer que la imagen que tenemos del genio está tergiversada por prejuicios platónicos. Pero este hecho tiene, a su juicio, serias implicaciones: como Plutarco, el “propagandista” nos ha vendido una imagen de las matemáticas “suave” e idealizada, mostrándolas como el único conocimiento que puede proporcionar verdades cristalinas, entonces, la mayoría de intelectuales, a lo largo de la historia, se han inclinado por la actividad científica, en lugar de otros tipos de saber. En otras palabras, lo que nos está exponiendo Authier es que la consecuencia de que Plutarco, en su labor propagandista, como él la llama, haya ocultado las circunstancias en que Arquímedes hizo sus desarrollos, ha “traumatizado a generaciones enteras de individuos” evitando que estudien una ciencia de la que se han sentido expulsados. De donde parece seguirse que si Plutarco no hubiese sido un propagandista platónico, generaciones enteras hubieran escogido otras áreas del saber en donde desempeñarse. Como si una persona con reconocido talento artístico decidiera dedicarse a la ciencia porque es allí donde el sabio Arquímedes encontró la verdad y la felicidad propias de las matemáticas. ¿Será que el autor realmente piensa que la imagen de Arquímedes hecha por Plutarco ha contribuido a que muchos genios hayan dejado de estudiar otras áreas para estudiar ciencias, y que, por otro lado, muchas personas del común se hayan alejado del camino de las ciencias?

La crítica anteriormente expuesta parecería irrelevante si se tiene en cuenta que está enmarcada en un curso de ciencia griega antigua. Trataré entonces de argumentar brevemente sobre la importancia de hacer este tipo de críticas. El texto criticado en este ensayo tiene una postura claramente externalista. El externalismo es una postura que debe su valor filosófico precisamente a la crítica que hace de la ciencia; a los cuestionamientos que constantemente hace a los avances científicos. Sin este tipo de críticas la ciencia fácilmente olvidaría su objetivo de servir al hombre, y comenzaría el científico a hacer ciencia por hacer ciencia. Debe recordársele continuamente al científico que la ciencia es una herramienta y no un fin en sí mismo. Pero toda postura que pretenda ser crítica, debe serlo con argumentos fuertes, evitando al máximo la retórica, y dejando a un lado prejuicios de cualquier tipo. Por esta razón creo que es necesario, dentro del curso para el cual escribo este texto, que se conozcan ambas posiciones (la externalista y la internalista), y que, a partir de una crítica seria a ambas, nos sea posible adoptar una postura bien fundamentada.


BIBLIOGRAFÍA

AUTHIER, Michel.
Arquímedes: el canon del sabio.

VEGA, Luis.
(1986) Introducción. En El método. Arquímedes. Madrid. Alianza Editorial.

HEATH, T. L.
(1912) The Works of Archimedes with the metod. New York. Dover Publications, inc.